প্রথমেই সবাইকে আমার সালাম জানাই। আশা করি সকলেই ভাল আছেন। আজ আমি HSC (বিজ্ঞান) শিক্ষার্থীদের জন্য ইন্টিগ্রেশনের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের নিয়মাবলী নিয়ে এসেছি। হয়ত কাজে লাগতে পারে।
সবার আগে আমি আমি ক্যালকুলাস কি, এটার ব্যবহার, উদাহরণ এসব আলোচনা করব। এরপর ইন্টিগ্রেশনের বিভিন্ন নিয়মাবলী নিয়ে আলোচনা করব। ধৈর্য ধরে পড়তে হবে।
তাহলে শুরু করা যাক
ক্যালকুলাস আসলে অ্যাডভান্সড বীজগণিত এবং জ্যামিতির এক অসাধারণ সমন্বয়। গণিতের পরিপ্রেক্ষিতে বলা যায় এটা কোন নতুন বিষয় বা সাবজেক্ট নয়। ক্যালকুলাসে সাধারণ বীজগণিতীয় এবং জ্যামিতিক সূত্রাবলি ব্যবহৃত হয় কিন্তু ক্যালকুলাসের সমস্যাগুলি অবশ্যই বীজগণিত এবং জ্যামিতির চেয়ে আলাদা ও একটু জটিল। যেখানে বীজগণিত, জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতির শেষ সেখান থেকেই ক্যালকুলাসের শুরু।
এবার আমরা একটু ক্যালকুলাসের ব্যবহারিক দিক লক্ষ্য করিঃ
১ম চিত্রে একজন লোক একটি বাক্স উপরে উঠাতে চেষ্টা করছে। এক্ষেত্রে তিনি F বল প্রয়োগ করলে যদি শীর্ষে উঠাতে পারেন তাহলে তার কাজ কত?
অতি সহজ!! তাই না? এবার নিচের চিত্রটি দেখুনঃ
ক্যালকুলাস ছাড়া করে দেখাতে পারবেন? 😛
মনে হয় পারবেন না?
এক্ষেত্রে প্রতিটি পদক্ষেপে ঢাল বা ইনক্লাইন পরিবর্তন হচ্ছে ফলে ঢাল যতই বৃদ্ধি পাচ্ছে লোকটিকে আরও বেশি পরিমাণ বল প্রয়োগ করতে হচ্ছে বাক্সটি উঠানোর জন্য। ফলশ্রুতিতে কাজের পরিমাণও পরিবর্তিত হচ্ছে। প্রতি সেকেন্ডে বা এক হাজার ভাগের এক সেকেন্ডে নয়; এক মুহূর্ত থেকে অন্য মুহূর্তে পরিবর্তনগুলো হচ্ছে যেটা একে ক্যালকুলাসের একটি সমস্যায় পরিণত করেছে। এখন নিশ্চয়ই আপনার এ ব্যপারে কোন দ্বিমত নেই যে কেন ক্যালকুলাসকে “MATHEMATICS OF CHANGE” বলা হয়।
আঁকাবাঁকা সমতলের সমস্যাটির ক্ষেত্রে পদার্থ, জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতির সকল সূত্রাবলি অপরিবর্তিত থাকবে। পার্থক্য এই যে, রেগুলার সমস্যাগুলোতে যেমন আমরা এসকল সূত্র একধাপে বসিয়ে সমস্যার সমাধান দিতে পারি কিন্তু আঁকাবাঁকা সমতলের সমস্যার ক্ষেত্রে কার্ভের প্রতিটি বাঁককে অতি ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র সেগমেন্টে বিভক্ত করতে হবে (অর্থাৎ ডিফারেনশিয়েট করতে হবে) এবং প্রতিটি সেগমেন্টে বীজগাণিতিক, ত্রিকোণমিতিক, জ্যামিতিক কিংবা পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রাবলি বসিয়ে উত্তর বের করে সামগ্রিক ক্ষেত্রে (পুরো তলের ক্ষেত্রে) আবার উত্তর বের করতে হবে। (অর্থাৎ ইন্টিগ্রেট করতে হবে)
**এর উত্তর হল, যখন ভূমির সাথে theta কোণে হেলানো সমতল বরাবর কোন বস্তুকে তলের শীর্ষে উঠানো হয় তখন ওই বস্তুর ওজনের সাইন উপাংশ (mgsin(theta)) তল বরাবর ব্যক্তির বলের বিপরীতে ক্রিয়াশীল হয়। যদি উপাংশটি ব্যক্তি কর্তৃক প্রয়োগকৃত বলের চেয়ে বেশি হয়, তবে ওই ব্যক্তি বস্তুকে উপরে উঠাতে পারবেনই না বরং বস্তুটি নিচের দিকে গড়িয়ে (গোলাকার বস্তু হলে) পড়তে থাকবে, বস্তুটিকে তিনি তখনই উঠাতে পারবেন যখন তার বল বস্তুর ওজনের সাইনের উপাংশের চেয়ে বেশি হয়। আর তিনি যদি বস্তুটিকে উঠাতে পারেন তবে তার বলের কিছু অংশ বস্তুর ওজনের সাইন উপাংশ কর্তৃক প্রশমিত হয় এবং তিনি একটি লব্ধ ধ্রুব বলে বস্তুটিকে উঠাতে পারেন।
কিন্তু তল যদি আঁকাবাঁকা হয় তবে তার সাথে সাথে তলের ঢালেরও পরিবর্তন ঘটে। ঢালের পরিবর্তনের ফলে বস্তুর ওজনের উপাংশেরও পরিবর্তন ঘটে, যদি ওই ব্যক্তি ধ্রুব বলেই বস্তুটিকে আঁকাবাঁকা তলে উপরে উঠাতে চেষ্টা করেন তাহলে কখনও mgsin(theta)এর মান বাড়ে, কখনও বা কমে (কোণ সাপেক্ষে)। ফলে ওই ব্যক্তি যদিওবা সমবলে বস্তু উপরে উঠাচ্ছেন তার লব্ধি বল কিন্তু ক্রমাগত বাড়ছে অথবা কমছে এবং সেটার জন্য দায়ী mgsin(theta)।
**দ্রষ্টব্যঃ এই আলোচনায় ঘর্ষণ আনা হয় নি। ঘর্ষণ আনলেও ফলাফল একই হবে, তবে ব্যক্তিকে আরও বেশি বল প্রয়োগ করতে হবে কেননা, ব্যক্তির উপর বস্তু কর্তৃক প্রযুক্ত মোট বল= mgsin(theta) + ঘর্ষণ বল।**
এবার নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করুন, কিভাবে আঁকাবাঁকা এলাকাকে আমরা সমতল হিসেবে বিবেচনা করতে পারিঃ
তাহলে দেখা যাচ্ছে, এভাবে আমরা কার্ভকে জুম করলে এটা ব্যবহারিকভাবে অথবা বাস্তবিকপক্ষে একটি রেখাতে পরিণত হয়। যেহেতু সেগমেন্টটি সরল; তাই আমরা এখানে বীজগাণিতিক, ত্রিকোণমিতিক, জ্যামিতিক কিংবা পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রাবলি বসাতে পারব!! এবার প্রতিটি ক্ষুদ্র সেগমেন্টের মান বের করলে যতগুলো সেগমেন্ট পাওয়া গেল সেগুলোর সমষ্টিই হবে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল!
এতক্ষণ ক্যালকুলাস নিয়ে যত বক বক করা হল তা খুবি অল্প। এটা দিয়ে এমন ধরণের সমস্যার সমাধান করা যায় যেগুলো আমরা সাধারণ বীজগণিত, জ্যামিতি অথবা পদার্থবিজ্ঞান এর সূত্রাবলি দিয়ে করতে পারি না কারণ সব কিছুই একটু পর পর পরিবর্তিত হচ্ছে, তবে ক্যালকুলাস ক্যালকুলাসীয় সমস্যাগুলোতে আমাদের এসকল সূত্র ব্যবহার করার পরিবেশ কিংবা সুযোগ (যেটাই বলুন না কেন!) তার ব্যবস্থা করে!তাহলে বোঝা যাচ্ছে ক্যালকুলাস ব্যবহার করে জুম করে এবং সরল করে অতঃপর সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে আমরা ওইধরণের সমস্যার সমাধান নিমেষেই দিতে পারি।
খুবই সহজঃ ক্যালকুলাসে আমরা যেটাই করি না কেন তা অসীমের দিকে ধাবিত করে; সেটা ডিরেক্টলিই হোক কিংবা ইন্ডিরেক্টলিই হোক। যেমনঃ প্রি-ক্যালকুলাসে আমরা দেখি (সোজা কথায় লিমিটের অঙ্কগুলো)মূল নিয়মে শূন্যের কাছাকাছি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র পরিবর্তনের মাধ্যমে সূত্রাবলি ডিরাইভ করা হয়েছে। পরিবর্তন যদি শুণ্যের কাছাকাছি হয় তবে পরিবর্তনের গ্রাফ কিন্তু ক্ষুদ্র সরলরেখাই হয়।
কোন একটি মই যদি দেয়ালে ঠেস দেওয়া থাকে এবং মইয়ের ও ভূমির স্পর্শতল থেকে যদি দেওয়ালের দূরত্ব দেওয়া থাকে, এবং দেয়ালে ও মইয়ের স্পর্শবিন্দু থেকে দেয়ালের পাদদেশের উচ্চতা দেওয়া থাকে তবে আমরা অতি সহজে মইয়ের উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি। যেমনঃ
এটাও বাস্তব উদাহরণ কিন্তু অতি সহজে সমাধানযোগ্য। এবার ধরা যাক, দুইটি টাওয়ার একটি তারের সাথে যুক্ত। কিন্তু, পরে তারের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা প্রয়োজন হল। এখন উপায়? নিশ্চয়ই বলবেন যে টাওয়ার দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্বই হল তারের দৈর্ঘ্য। আসলেই কি তাই? চিত্র দেখুনঃ
তারটি আসলে একটি পরাবৃত্তের আকার গ্রহন করেছে। যেকোন তড়িৎ সরবরাহকারী প্রতিষ্ঠানের জন্য তারের সঠিক দৈর্ঘ্য জানা অত্যাবশ্যক।
এবার আরও কিছু উদাহরণ দেখিঃ
নিম্নোক্ত ঘরের রুফটপের ক্ষেত্রফল জ্যামিতিক সূত্র প্রয়োগ করে অতি সহজেই জানা যায়, ঠিক না?
কিন্তু এই গম্বুজের ক্ষেত্রফল কি শুধু জ্যামিতিক সূত্র প্রয়োগ করে বের করা সম্ভব?
নিশ্চয়ই নয়? এখানে ক্যালকুলাস ব্যবহার করতে হবে এবং x,y ও z তিনটি অক্ষই থাকবে।
এতক্ষণে আপনারা নিশ্চয়ই বুঝতে পেরেছেন ক্যালকুলাস এর গুরুত্ব কতখানি?
আর ক্যালকুলাস নিয়ে কাঁপঝাঁপ নয়। এবার আমি কতগুলি নিয়ম দেব যেগুলো জানা থাকলে HSC এর ইন্টিগ্রেশন অংশের ৮০ শতাংশ এমনিই শেষ হয়ে যাবে।
আর হ্যাঁ, আমি শুধু নিয়মগুলি একত্রে দেব এবং যথাসাধ্য চেষ্টা করব নিয়মগুলি বুঝিয়ে দিতে।
যাকে ইন্টিগ্রেশন করতে হবে তাকে In দ্বারা প্রকাশ করব।
বিবৃতিঃ কোন In এর একটি অংশকে বা অংশবিশেষকে ডিফারেনশিয়েট করলে যদি অপর একটি পূর্ণ অংশ পাওয়া যায় তবে তাকে z বা t ধরতে হবে। এবং dz এর মান বের করতে হবে। অবশেষে z এবং dz এর মান বসিয়ে সমাকলন করার পর সবশেষে z ও dz এর মান উঠিয়ে চলকের মান বসাতে হবে।
[এখানে z বা t এর কোন গুরুত্ব নেই, যেকোন প্রতীক ব্যবহার করা যাবে যেটা প্রদত্ত অঙ্কে না থাকে, সাধারণত z বা t অঙ্কে থাকে না বিধায় এ দুটোকেই প্রতীক হিসেবে ব্যবহার করা হয়ে থাকে]
ইন্টিগ্রেশন করার ক্ষেত্রে এটি একটি ব্যপকভাবে ব্যবহৃত একটি নিয়ম। না বুঝে থাকলে চলুন কিছু উদাহরণ দেখিঃ
১।
২। এখানে একটা কথা বলা দরকার যে, lnz কে uv পদ্ধতিতে ইন্টিগ্রেশন করলে অর্থাৎ, u=lnz ধরে ইন্টিগ্রেশন করলে zlnz-z রাশিটি পাওয়া যায়।
৩। আশা করি এতক্ষণের মধ্যে নিয়মটি বুঝেছেন, তাহলে আরেকটি উদাহরণ দেখে এই নিয়মটির খতম দেই। সামনের অঙ্কগুলোতে এই নিয়মটি মিক্সড অবস্থায় থাকতে পারে। 😉
এবার ২য় নিয়মটি দেখা যাকঃ
বিবৃতিঃ যদি কোন In সমস্যা বা (যেখানে, n=3,5,7.... বেজোড় সংখ্যা) আকারের হলে,
(I) 
এর জন্য প্রথমে একে
এ পরিনত করতে হবে। পরে, 
কে 
এ রূপান্তরিত করে, z=cosx ধরে dz এর মান বের করে ইন্টিগ্রেশন করলেই হবে।
(II) 
এর জন্য প্রথমে একে 
এ পরিনত করতে হবে। পরে, কে এ রূপান্তরিত করে, z=sinx ধরে dz এর মান বের করে ইন্টিগ্রেশন করলেই হবে।
এবার একটি উদাহরণ দেখা যাকঃ
এই নিয়মের অঙ্কগুলো সব একই বিধায় একটিমাত্র উদাহরণ দেওয়া হল। cos হলে তাকে একই নিয়মে sin এ রূপান্তরিত করে ইন্টিগ্রেশন করতে হবে।
তবে একটা কথা, যদি সাইন কিংবা কোসাইন এর ঘাত ৩ হয় তবে আমরা শুধু সূত্র বসিয়েই ইন্টিগ্রেশন করতে পারব, কিন্তু ৩ এর অধিক হলে এই নিয়মটি খাটাতে হবে।
এবার ৩য় নিয়মটি একটু দেখিঃ
বিবৃতিঃ
কোন In যদি বা আকারের হয় (যেখানে n=2,4,6,... .. .. জোড় সংখ্যা) তবে,
(I) হলে তাকে 
আকারে প্রকাশ করে কোসাইনের সূত্রে রূপান্তর করতে হবে।
(II) আকারের হলে তাকে 
আকারে প্রকাশ করতে হবে এবং কোসাইনের সূত্রের রূপ দিতে হবে।
**** এবং এ প্রক্রিয়া চলতেই থাকবে যতক্ষণ না পর্যন্ত ঘাত ১ এ নেমে আসে****
এবার সচিত্র দেখা যাকঃ
(অংকটার সমাধান একটু বড় বিধায় দুটি চিত্রে দেওয়া হল)
এটাও ২ নং নিয়মের মত বলে একটাই উদাহরণ দেওয়া হল। সাইন বা কোসাইনের ঘাত জোড় থাকলে; সেটা যেকোন অঙ্কই হোক না কেন, তাকে আমরা কোসাইনের সূত্রে ফেলে দিতে চেষ্টা করব। 😛
এবার দেখা যাক ৪ নং সূত্র কী বলে?
বিবৃতিঃ কোন In যদি 
আকারের হয় তবে লব ও হর; উভয়কেই e-x দ্বারা গুণ করতে হবে। সরল করার পর হর=z ধরতে হবে।
এবার চিত্রের মাধ্যমে দেখিঃ
এবার আরেকটি অঙ্ক দেখা যাক, যেটাতে শুরুর দিকে মনে হবে যে এই নিয়মেই পড়বে কিন্তু পরে দেখা যাবে অঙ্কটি অন্য নিয়মে সমাধানযোগ্যঃ
এই নিয়মের আপাতত এইখানেই ইতি টানলাম। এরপর দেখা যাক পরের নিয়মটি কী বোঝাতে চায়ঃ
বিবৃতিঃ কোন In যদি লব এবং হর উভয়েই x এর ফাংশন হয় এবং লবের x এর সর্বোচ্চ ঘাত হরের সর্বোচ্চ ঘাতের বেশি বা সমান হয় তাহলে লবকে হর দ্বারা ভাগ করতে হবে।
ভাগ করার নিয়মঃ
লবের স্থলে হর লিখে তাকে ব্যালেন্স করতে হবে (মূল সূচক চিহ্ন যদি সম্পূর্ণ রাশির উপরে থাকে তবে তা ব্যতীত লিখতে হবে)। তারপর হর দিয়ে লবকে ভাগ করতে হবে।
এটা একটা গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম। .. .. .. বুঝি নাই?! 🙁
তাহলে ছবির দিকে দৃষ্টিপাত করুনঃ 😉
এ অঙ্কটা অন্য নিয়মেও করা যায়। সেটা পরে দেখান হবে।
এবার নেক্সট নিয়মে আসা যাক।
বিবৃতিঃ কোন In যদি 
বা, 
অথবা, 
আকারের হয়,
তবে, সর্বদা, 
ও 
বসাতে হবে এবং অঙ্ক সরল করার পর 
ধরতে হবে।
বোঝা গেল না বুঝি?
তাহলে চিত্র দেখুনঃ
এ জাতীয় আরও অঙ্ক আছে, তবে সেটার সাথে অন্য নিয়ম মিক্সড থাকায় দেওয়া হল না। ওই নিয়ম শেখার পর নিশ্চয়ই দেব।
বিবৃতিঃ যদি কোন In এর হর যদি f(x) হয় এবং লব যদি f’(x) হয়। অর্থাৎ, হরকে ডিফারেন্সিয়েট করলে যদি লব পাওয়া যায় তাহলে এই নিয়মটি অনুসরণ করতে হবে।
যদি 
হয় তবে এর ইন্টিগ্রেশন হবে 
। তবে ধ্রুবক থাকলে ব্যালেন্স করে নিতে হবে।
কয়েকটা উদাহরণ দেখলেই ব্যপারটা পরিষ্কার হয়ে যাবেঃ
আরেকটা উদাহরণ দেখিঃ
বিবৃতিঃ কোন In যদি 
বা 
হয় তবে তাকে প্রথমে 
বা 
তে রূপান্তরিত করতে হবে এবং তারপর
বা 
তে পরিণত করতে হবে। (*) এর মানে হল ব্যালেন্স ঠিক রাখার জন্য প্রয়োজনীয় ধ্রুবক যোগ অথবা বিয়োগ করা। এরপর অঙ্কের ফরম্যাট অনুযায়ী তাকে উপযোগী সূত্রের মাধ্যমে সমাধান করতে হবে। বা এটার ক্ষেত্রে x2 ও x এর আগে মাইনাস থাকতে পারে। সর্বদা x2 এর আগের মাইনাসকে প্লাসে নিতে হবে। তারপর ক্যালকুলেশন করতে হবে।
বোঝা না গেলে চলুন কিছু ছবি(অঙ্ক) দেখিঃ
আরেকটা দেখা যাক; এবারের অঙ্কটাতে Rule:#6 ও থাকবে।
কি চমৎকার দেখা গেল অঙ্কটিতে!! একইসাথে তিনটি Rule
তাহলে আশা করা যায়, নিয়মটি বোঝা গেল। তাই না?
এবার নেক্সট নিয়মটা দেখি,
বিবৃতিঃ কোন In যদি 
বা 
বা 
বা 
আকারের হয় তবে 
ধরতে হবে। এরপর x কে theta এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েট করে মানগুলো বসিয়ে সমাধান করতে হবে।
বুঝতে হলে, অঙ্কচিত্র দেখে নিনঃ
বিবৃতিঃ কোন In যদি 
আকারের হয় তবে 
ধরতে হবে এবং x কে theta এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েট করে মানগুলো ওই রাশিতে বসিয়ে সমাধান করতে হবে।
একটি উদাহরণ দেখিঃ
এবার আসা যাক পরবর্তী নিয়মে
বিবৃতিঃ কোন In যদি 
বা 
আকারের হয় তাহলে বর্গমূলের ভিতরের অংশটিকে z2 ধরে বর্গমূল ছাড়া অংশের মান এবং dx এর মান বের করে প্রদত্ত অঙ্কে বসিয়ে প্রয়োজনীয় ক্যালকুলেশনের মাধ্যমে সমাধান করতে হবে।
খুব সহজ, তাই না?!
তাহলে দেরি না করে আরেকটি নিয়ম দেখা যাক;
বিবৃতিঃ কোন In যদি একটি পদের ঘাত অপর পদের অর্ধেক অথবা দ্বিগুণ হয় তাহলে যেই পদের ঘাত কম সেই পদের ঘাতকে ১ করতে হলে z এর ঘাত তত ধরতে হবে এবং ডিফারেন্সিয়েট করে dx ও x এর মান বসিয়ে প্রয়োজনীয় ক্যালকুলেশন করে সমাধান করতে হবে। এটা ঠিক আগের নিয়মের মত তবে এখানে পদটি এক চলকবিশিষ্ট হবে এবং এই পদের সাথে কোন ধ্রুবক যোগ অথবা বিয়োগাকারে থাকে না।
অর্থাৎ, ধরি কোন In 
, এখানে sqrt of x এর ঘাত x এর ঘাতের অর্ধেক। সুতরাং sqrt of x এর ঘাত 1 এ আনতে z2=x ধরতে হবে এবং একে ডিফারেন্সিয়েট করে প্রদত্ত অঙ্কে dx ও x এর মান বসিয়ে অঙ্কের সমাধান করতে হবে। এখানে কিন্তু সমস্যাটি 
বা 
আকারেও থাকতে পারে। সমাধানের নিয়মটি অপরিবর্তিত থাকবে।
একটা সমাধান দেখলেই নিয়মটা বোঝা যাবেঃ
এই পর্যন্ত ইন্টিগ্রেশনের বেশিরভাগ অঙ্কগুলোর সমাধানের নিয়মাবলী দেওয়া হল। (HSC)।
১। এখানে ধ্রুবক সবার শেষে যোগ করা হয়েছে। কিন্তু একদম সঠিক নিয়ম হল; অনির্দিষ্ট যোগজের ক্ষেত্রে প্রত্যেকবার যোগজীকরণের পরে C যোগ করা। তবে, উচ্চমাধ্যমিক ও মাধ্যমিক বোর্ডে শেষের লাইনে C যোগ করলেই হয়। অর্থাৎ যেটা আমি করেছি।
২। এখানে uv method, কিংবা আংশিক ভগ্নাংশ অথবা নির্দিষ্ট যোগজ নিয়ে আলোচনা করা হয় নি। এ-স-ক-ল ক্ষেত্রে আমার টিউনের কোন না কোন নিয়ম কোন না কোন অঙ্কে খাটান যাবে, তবে uv method এর ক্ষেত্রে এবং আংশিক ভগ্নাংশের বেলায় পরিবর্তন আসবে; কিন্তু নির্দিষ্ট যোগজের ক্ষেত্রে কোন পরিবর্তন নেই, কেবল শেষে আপার লিমিট থেকে লোয়ার লিমিট বাদ দিলেই হবে এবং উল্লেখ্য যে C যোগ করা যাবে না।
আশা করি এই নিয়মগুলো আপনারা ভালভাবেই বুঝেছেন; না বুঝলে কমেন্টের মাধ্যমে জানানোর অনুরোধ করছি। এখানকার বেশ কিছু নিয়ম বোর্ডের বিভিন্ন বই থেকে সংগ্রহ করা হয়েছে।
এবার একটা ছোট্ট পরীক্ষা নেওয়ার পালা।
নিচে দুটো অঙ্ক দেব, আপনাদের উত্তরটা বলতে হবে।
১।
২।
**লেখাটি পিডিএফ আকারে দেওয়ার চেষ্টা করেছি কিন্তু বেশ কয়েকবার আপলোড হতে সমস্যা করায় আর দেওয়া হল না, যাদের লেখাটি প্রয়োজন তাঁরা একটু কষ্ট করে http://www.web2pdfconvert.com সাইটটিতে গিয়ে কনভার্ট করে নিয়েন। ধন্যবাদ।**
যারা পিডিএফ আকারে পেতে চান এই লিঙ্ক থেকে ডাউনলোড করুনঃ http://www.mediafire.com/?2166bs8g516ea2t (Powered by উন্মাদ তন্ময়, Special Thanks to: উন্মাদ তন্ময়)
টিউনটি পড়ার জন্য সবাইকে অনেক ধন্যবাদ। এবং আসন্ন ঈদ উপলক্ষে আমার পক্ষ থেকে শুভেচ্ছা রইল। সময় ভাল কাটুক প্রিয়জনদের সঙ্গে এবং সবাই ভাল থাকুন; সুস্থ থাকুন সেই কামনায় আজকের টিউন শেষ করলাম। আল্লাহ্ হাফেজ।
আমি নিওফাইটের রাজ্যে। বিশ্বের সর্ববৃহৎ বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির সৌশল নেটওয়ার্ক - টেকটিউনস এ আমি 13 বছর 1 মাস যাবৎ যুক্ত আছি। টেকটিউনস আমি এ পর্যন্ত 13 টি টিউন ও 1392 টি টিউমেন্ট করেছি। টেকটিউনসে আমার 5 ফলোয়ার আছে এবং আমি টেকটিউনসে 0 টিউনারকে ফলো করি।
শ্রবণ, মনন , অনুশীলন
হা হা, তারেক মিয়ার জন্য পিনিক বাবার ভাত মারলাম, নইলে এলেন বাবার ভাত মারতাম। 😛
প্রিয়তে নেওয়ার জন্য ধন্যবাদ। 😀
টিচার হিসাবে ভাল করবেন । লেখা ফাটাফাটি হইছে ………………এই ব্যাপারে আরো টিউন করুন কাজে লাগবে ।
অসাধারণ কোয়ালিটি টিউন… অনেক অনেক ধন্যবাদ… আশা করি নিয়মিত হবেন… শুভকামনা রইলো আগামী টিউনগুলোর জন্যে…
@ডিজে আরিফ: কমেন্টের জন্য অসংখ্য ধন্যবাদ। নিয়মিত হওয়ার চেষ্টা করব। ভাল থাকবেন। 🙂
আহ! দেশের ভবিষ্যত মেধাবি শিক্ষককে চোখের সামনে দেখতে পাচ্ছি। অবশ্যই গর্ব করার মতো টিউন 🙂 😀
সোজা প্রিয় তে, এইচএসসি তে করেছি, ইঞ্জিনিয়ারিং ম্যাথে পড়ছি তবুও ইন্টিগ্রেশনে সমস্যা কাটছে না। টিউনটা খুব খুব কাজে লাগবে। অসংখ্য ধন্যবাদ ফাটাফাটি টিউনের জন্য।
আকাশ ভাই নাকি? 😀 😀
অনেক অনেক ধন্যবাদ আমার টিউনে কমেন্ট করার জন্য। 
কাজে লাগলেই আমার টিউন সার্থক।
ভাল থাকবেন। 🙂
@sanjayhalder: এটাতো ক্যালকুলেটরেই করা যায়।
১ম মূল হবে= -৩.৮৮৪৪৮৩৭০২….
২য় মূল=২.৭৬৮৭৩৪৩০৫…
৩য় মূল=১.১১৫৭৪৯৩৯৭…
কমেন্ট করার জন্য ধন্যবাদ।
@নিওফাইটের রাজ্যে: @নিওফাইটের রাজ্যে: are ami jani calculatore hoye jabe. tahole intregation sekhar dorkar ki aro calculator paoa jai. amader calculetor use korte dei na . ata genral vabe solve korte boleche. jemon middle term factoer, vanicing method ai rule . chesta kore bolo.
TUMI KI KORE INTREGATION SIGN TA LIKHLE AMAKE BOLO PLEASE . ONEK MATH ATKE ACHE. TAHOLE DEBO SOLVE KORE DEBE KINTU. ATA AMAR EKANTO REQUEST. PLEASE…
@sanjayhalder: আমিতো সফটওয়্যার ব্যবহার করেছি। প্রবাসী ভাইয়ের দেওয়া। আপনার লাগলে ডাউনলোড করে নিনঃ
http://www.mediafire.com/?8hfx9v7222ysula
সফটওয়্যারটি পোর্টেবল তাই ইন্সটল করার ঝামেলা নেই। ডাউনলোড করে ব্যবহার করতে থাকুন।
ধন্যবাদ।
আমার জন্য দয়া করে set theory বুঝিয়ে দেবে । কিছু বুঝতে পারছিনা। সব ধোয়া লাগছে। ……..
@sanjayhalder: ভাইয়া আপনি কী HSC তে পড়েন কীনা সেটা আগে বলুন। 🙂
তাহলে নাহয় আরেকদিন সেট থিওরি নিয়ে টিউন করব। 😉
কমেন্টের জন্য ধন্যবাদ।
tumi durdanto teacher. ami tomar admirer hoye gelam. kintu comment .koro . onek math atke ache kal sir ke chamak dite hobe
@sanjayhalder: আমি সত্যিই দুঃখিত দেরিতে রিপ্লাই দেওয়ার জন্য। চমক দেওয়ার জন্য সফটওয়্যার এর লিঙ্ক তো দিলাম একবার,
আবার দিলাম, http://www.mediafire.com/?8hfx9v7222ysula
ডাউনলোড করুন আর ব্যবহার করুন।
অনেক অনেক ধন্যবাদ আপনার কমপ্লিমেন্টের জন্য।
23 ar ta perechi kintu ans ta likhte parchi na. tai kothai likhlam.. (x+a).tan inverse root of x by a- root of ax+c
@sanjayhalder: হয়েছে কী হয় নি এটা বললাম না। 😉
ট্রাই করার জন্য অসংখ্য ধন্যবাদ। আগে অন্যরা ট্রাই করে দেখুক তারপর উত্তর দেব। 🙂
আপনাকে ধন্যবাদ জানাই কষ্ট করে এতগুলো কমেন্ট করার জন্য।
আপনাকে অখংখ্য ধন্যবাদ ।অনেক ভালো টিউন।
একাদশ-দ্বাদশ শেণীর পাঠ্য, HSC-এর বই (ই-বুক ,বিজ্ঞান শাখার ) ডাউনলোড করার লিঙ্ক কেউ অনুগ্রহ করে জানলে খুব উপকৃত হতাম।
@mana: আপনাকেও ধন্যবাদ টিউনটি পড়ার জন্য। 🙂
HSC science e-book এর ডাউনলোড লিঙ্ক পেলে নিশ্চ্য়ই জানাব। ভাল থাকবেন। 🙂
@A.R.Bhuyan: কমেন্টের জন্য ধন্যবাদ। এধরণের আরও টিউন দেখতে হলে আমার এই টিউনের একদম শেষের দিকে কেমিস্ট্রি ও পদার্থবিজ্ঞানের দুইটি টিউনের লিঙ্ক দেওয়া আছে।
বায়োলজি সম্পর্কিত টিউন দেখতে অপু.পশ্চিমবাংলা ভাইয়ের টিউনার পাতায় যেতে পারেন। লিঙ্কঃ techtunes.io/tutorial/tune-id/94667/ (apu.westbengal)
ভাল থাকবেন। 🙂
বড় ভাই অসাধারণ টিউন করেছেন!
আপনাকে অভিনন্দন। জীবনে অনেক কিছু করতে পারবেন এই আশা রাখি।
সামনে আমার ইন্টিগ্রেশন পরীক্ষা। এবার 4.00 পামু।
শুভ কামনা রইল অনেক 🙂
বড় ভাই, আপনারও ইন্টিগ্রেশন আছে?!?! 😮
আপনার জন্যও অনেক শুভকামনা রইল।
উৎসাহমূলক কমেন্টের জন্য tan89.9999999….. ধন্যবাদ। 😀
ভাই আপনে লিনাক্সে চলে গেসেন? 😥
আমাদের এক্সপি অয়ালাদের কি হপে?? 🙁
acha ata amake bojhabe… (a)2=a.a , (a)3=a.a.a but (a)0=1 ki vhabe hoy. tar mane hoy to (a)0= a 0 times. osombhob.
@sanjayhalder: একটা সহজ ব্যাখ্যা বলি? ধরেন a একটি বাস্তব সংখ্যা [a is not equal to 0] , তাহলে a এর ঘাত 1, এবার ১ কে a দ্বারা ভাগ করুন, তাহলে দাঁড়ায় 1/a=a^-1
এখন দুইটাকে গুণ করুন, a^1* a^-1 =a^1-1=a^0=1
এটা হল কীভাবে? দেখুন, সুচক বাদ, a* 1/a = 1 , এর মানে কী? a কে 1/a দ্বারা গুণ বা a কে a দ্বারা ভাগ। সূচকের নিয়মানুসারে দুইটি সমান সংখ্যাকে গুণ করলে তাদের ঘাতদ্বয় যোগ হবে। এভাবে a^0=1 হয়; এটার মানে এক্টাই: ওই সংখ্যাকে ওই সংখ্যা দ্বারা ভাগ, যখন a is not equal to 0
আশা করি বুঝতে পেরেছেন।
কমেন্টের জন্য ধন্যবাদ।
acha tomake ekta prosno korchi… root 2 ar exactly kono value paoa jai na. root = 1.41414………. . kintu root 2 ke perfectly mapa jai . ki vhabe? jodio calculatore root 2 ar perfect value dei. ota mathematically sothic noy. exact value pao a gele root 2 to rational no. hoye jeto kintu root 2 to irrational no.
@sanjayhalder: ভাই, আপনি কষ্ট করে এটা দেখতে থাকুন, http://www.algebra.com/algebra/homework/Rational-functions/Rational-functions.faq.question.119377.html
আমি আপনার প্রশ্নের সমাধান দেওয়ার চেষ্টা করছি।
ধন্যবাদ।
@sanjayhalder: আপনি, কিউবিক ফরমুলা অ্যাপ্লাই করুন, http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/cubic/
অন্য পদ্ধতি থাকলে আমি নিশ্চ্য়ই বলব।
ধন্যবাদ।
@S4t4N1C: হায় হায় ভাই, কি বলেন? ইন্টিগ্রেশনের অঙ্ক দেখলে যাতে মাথা না ঘুরায় সেই জন্যই তো এই টিউন। এখন যদি টিউন দেখেই মাথা ঘুরায়.. .. .. 🙁
আপনার কমেন্টের জন্য ধন্যবাদ। 😀
Chorom…..ame Inter 1st year a pori so eta amar onek kaje lagbe…thanks again…. erokom aro valo kichu asha korchi apnar kas
theke
@MKhan RDX: কি ব্যপার মহিউদ্দিন খান সাহেব???!! আমাকে চিনতে পারো নাই?.. .. .. .. 😀
কমেন্টের জন্য অনেক ধন্যবাদ।
amar mone hoy apni ektu vhul korechen…. intregation of 1/x = ln x hobe na to. ota to logx hobe. karon ln ar base to 10 ar calculase to base e dhora hoy . bujhlen ki.
@sanjayhalder: হা হা, আমি ভুল কিছু লিখিনি, আমাদের উচ্চমাধ্যমিক বোর্ডের বইগুলোতে ক্যালকুলাসে log এর বেজ e ধরেই করা হয়েছে। তাই আমার টিউনের সূত্রে আমি এটাই ব্যবহার করেছি। ধন্যবাদ। 🙂
are cubic a to hoche na hole ki apnake boli . please apni nijer hate korun . tarpor amake kore din.
@উন্মাদ তন্ময়: অনেক অনেক ঠেঙ্কুরে দোস্ত। আপলোড হইতেই চায় না। বিলাইরে ধইরা মাইর দিতে মুঞ্চায়।
ভালা থাকিস। 🙂
@sanjayhalder: sqrt of 2 এর ক্ষেত্রে উত্তরঃ স্কেল দিয়ে মেপে কী মান পাওয়া যায়? অতিভুজের দৈর্ঘ্য পরিমাপকালে প্রথমবিন্দু স্কেলের একটা দাগের একদম বরাবর থাকে, কিন্তু শেষবিন্দু কি স্কেলের কোন দাগের ‘একদম’ বরাবর থাকে? যে স্কেল দিয়েই মাপা হোক, যত সূক্ষ্মভাবেই আঁকা হোক, শেষবিন্দুটা স্কেলের কোন দাগের একদম বরাবর থাকার কথা না।
আর অঙ্কের সমাধানটা আপনি নিউটন র্যাফসন মেথড প্রয়োগ করে দেখতে পারেন।
আমার উত্তর ভুল হতে পারে, সঠিক উত্ত্র জানলে জানাতে ভুলবেন না।
ধন্যবাদ।
অসম্ভব রকম সুন্দর
Natural
Neat
Necessary
Neighborly
Neutral
New
Nice
Nifty
Noble
Nonviolent
Nostalgic
Notable
Noted
Noteworthy
Noticed
Neat
Necessary
Neighborly
New
Nice
Nimble
আর কি বলব ! কিচ্ছু বলার নেই । ভালো থেকো , আল্লার কাছে এই দোওয়া করি , তোমার স্বপ্ন সফল হোক !
এডুকেশনাল টিঊন কে সত্যি এক অন্য মাত্রায় নিয়ে গিয়েছো ।এটা ই আমার কাছে সব থেকে বেশী আনন্দের।
@অপু.পশ্চিমবাংলা: আপনাকেও আমার ধন্যবাদ দেওয়ার ভাষা নেই। অসম্ভব রকম সুন্দর আপনার কমেন্টটি।
কষ্ট করে এত সুন্দর কমেন্টের জন্য ধন্যবাদ। 😀
আপনিও ভাল থাকুন, বায়োলজির ভীতি দূর করুন।
@অপু.পশ্চিমবাংলা: tomake to itregation sekhano hoche. tumi dekchito english sikhe gecho . ata english dekhanor jaiga noy. kono math a problem thakle dite paro.
যাকে বলে এক কথায় মান সম্মত টিউন,
ধন্যবাদ আপনাকে অসাধারন এবং সুন্দর একটি টিউন আমাদের সাথে শেয়ার করার জন্য।
@আতাউর রহমান: আপনাকে অসংখ্য ধন্যবাদ সুন্দর একটি মন্তব্য উপহার দেওয়ার জন্য। 🙂
এরকম টিউনগুলোই টিটিকে সমৃদ্ধ করেছে। অসাধারণ টি্উন করেছেন। অসংখ্য ধন্যবাদ।
সামনেএরকম চমৎকার টিউন আরো আশা করছি।
অনেক অনেক সুন্দর হইছে………… যদি সময় থাকে তাহলে integrate টা solve করেন-
dx/sqrt(sin^6x+cos^6x) এর integrate কি হবে?
@tarik_59: ভাই, অনেক বিশ্রী চেহারার উত্তর এসেছে, না হওয়ার সম্ভাবনাই বেশি, তারপরও দেখুনঃ sqrt3 * ln | sqrt [ 3/4 – (sqrt3/2*cosx)(3sin^2 2x + 5/2)^2] – sqrt3/2*cosx*sin^2 2x + 5/2] + c
আপনি সঠিক উত্তর জানলে প্লিজ জানাবেন।
ধন্যবাদ।
ভাইয়া আমি এই পর্যন্ত করছি R পারি না
dz/sqrt(1-z^2+z^4) where z=tanx
R ভাইয়া আপনার fb id দেওয়া যাবে?
সব থেকে সোজা ।ছোট করে করছি দেখ …. (sinx)6+(cosx)6 = ((sinx)2)3 + ((cosx)2)3 = ((sinx)2+(cosx)2)3- 3 sin^2 x cos^2 x (sin^2 x+ cos^2 x) = 1- 3/4 sin^2 2x ………… করে জাও ।
আমরা সবাই জানি ২ এর সঠিক বর্গমূল পাওয়া যায়না । roor 2= 1.41 এটা calculatore দেখায় । কিন্তু এর সঠিক মান হল 1.41414141……….।, তাহলে সঠিক মান কিভাবে মাপ বো ।
খুব সোজা । একটা ত্রিভুজ আঁক যার ভুমি ১ এবং লম্ব ১ তাহলে আতিভুজ কত হবে। ভুমি ^2 + লম্ব ^2 = আতিভুজ ^2.
প্রিয়তে রাখলাম। অসম্ভব সুন্দর হইসে। শুধু HSC না, এটা সম্ভবত কোন science এর student এর সারা জীবন কাজে লাগবে। many many thanks for writing a tune on calculus.
আমার প্রতিটি টিউনে কমেন্ট করার জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ। 🙂
আর প্রিয়তে নেওয়ার জন্যও ধন্যবাদ।
ভাইরে আপনি তো ফাটাইয়া ফেলছেন…….10 min পর full page আসলো………. ভাইয়া আমার মনে হয় আপনি আমার comment টা দেখবেন না তাই আবার দিলাম
ভাইয়া আমি এই পর্যন্ত করছি R পারি না
dz/sqrt(1-z^2+z^4) where z=tanx
R ভাইয়া আপনার fb id দেওয়া যাবে?
আমিও তো এখানে এসেই চিতপটাং, তবে ওই বীভৎস আন্সার টা দিয়েছেন আমার পরিচিত বড়ভাই। আর কমেন্ট না দেখার কোন কারণ নেই কেননা প্রতিটি কমেন্ট আমার মেইলবক্সে যায় তাই মেইল চেক করলেই কে কে কমেন্ট করল তা দেখতে পারি। তবে মেইল থেকে রিপ্লাই দেওয়া যায় না।
dz বসাতে গেলে তো x ডিফারেন্সিয়েট করতে হবে, তাই না?
আচ্ছা আমি তাকে জিজ্ঞেস করে দেখি।
আপনাকে কষ্ট করে কমেন্ট করার জন্য ধন্যবাদ।
জি+ = https://plus.google.com/u/0/106620946251667535224
ধন্যবাদ।
বরাবর আর্টসের ছাত্র ছিলাম তাই অংক দেখলে মাথা ঘুরাই।বুঝলাম না এই টিউনটি বাদ দিয়ে এডমিন আ্মার অখাদ্য টিউনকে নির্বাচিত করলো কেন।টিউনটি করতে আপনার যে পরিশ্রম হয়েছে তার সন্মানার্থে আমার এই মন্তব্য।
প্রথমেই আপনাকে অসংখ্য ধন্যবাদ জানাই আমার টিউনে কমেন্ট করার জন্য।
এবার আমি বলি, এ টিউনের পেছনে আপনার অবদান কিন্তু কম নয়। কারণ আপনার দেওয়া Mathtype pro portable সফটটি ছাড়া আমার এ টিউন করা অসম্ভব ছিল। একারণেও আরও ধন্যবাদ আপনার প্রাপ্য।
আপনার টিউন অখাদ্য হতে যাবে কোন দুঃখে? আপনার টিউনে আমরা স-বা-ই কোন না কোনভাবে উপকৃত হই, কিন্তু আমার টিউনে উপকৃত হবেন এমন আছেন হাতেগোনা কয়েকজন।
তাই, আপনার টিউন নির্বাচনে টেক্টিউন্সের অ্যাডমিনের সিদ্ধান্তই সঠিক বলে আমি মনে করি। আপনাকে আরও এক প্রস্থ ধন্যবাদ আমাকে উৎসাহিত করার জন্য এবং আপনার মূল্যবান সময় ব্যয় করে কমেন্ট করার জন্য। 😀
ভাল থাকবেন এবং আমাদেরকে এমন ভাল ভাল জিনিস উপহার দিয়ে যাবেন। 🙂
ঈদ মোবারক……..
এক কথায় অসাধারন। এক টিউনে এত কিছু শিখলাম বিশ্বাস হচ্ছে না। ত্রিকোনমিতি নিয়ে একটা টিউন করার রিকোয়েস্ট করা থেকে নিজেকে বিরত রাখতে পারলাম না। আমি এবার ইন্টার দিব। আমার খুব উপকার হল। ধন্যবাদ।
ভাই
summession of series and Binomial theorm এর উপর এক্তা Tune করবেন please?r এই tune ta খুবি ভাল হইসে…
কমেন্ট করার জন্য আপনাকে অসংখ্য ধন্যবাদ।
এই মুহূর্তে দ্বিপদী উপপাদ্য সম্পর্কে লিখতে পারছি না বলে দুঃখিত। তবে সঙ্গে থাকুন, নিশ্চয়ই পাবেন।
ভাল থাকবেন। 🙂
এটা আমার জন্য সত্যিই আনন্দের এবং অবশ্যই সম্মানের যে আমার এই ক্ষুদ্র প্রচেষ্টাকে নির্বাচিত করা হয়েছে।
টেকটিউন্সের সকল পাঠক, টিউনার, মডারেটর এবং টেকটিউন্স কর্তৃপক্ষের প্রতি আমার শ্রদ্ধা, ভালবাসা এবং আন্তরিক শুভেচ্ছা রইল।
সবাইকে অসংখ্য ধন্যবাদ আমার পাশে থাকার জন্য। 🙂
@sbn5233: মতামতের জন্য ধন্যবাদ তবে সফটটি চালানো খুবই সহজ। আপনি ডাউনলোড করে একটু ঘাটাঘাটি করলেই পারবেন। আপনি যদি ES সিরিজের সায়েন্টিফিক ক্যালকুলেটর চালিয়ে থাকেন তাহলে আপনার আরও বেশি সহজ মনে হবে।
আমি যদি সময় পাই তবে বিস্তারিত টিউন করার আপ্রাণ চেষ্টা করব। অসংখ্য ধন্যবাদ। 🙂
@Mashiur: হা হা…………. 😀 হাসাইলেন ভাই, আমিতো কম্পুটার প্রোগ্রামার না। 🙁 দুঃখিত ভাই।
সিনিয়রদের কাছে আবেদন করেন, নিশ্চয়ই সাহায্য পাবেন।
ধন্যবাদ। 🙂
@Jonty: ধন্যবাদ। 🙂
——————————————————————————————————————————–
বাংলা লেখার জন্য অভ্র ব্যবহার করুন, ডাউনলোড লিঙ্কঃ http://www.omicronlab.com/avro-keyboard-download.html
@asad.eee: কমেন্ট করার জন্য ধন্যবাদ। 🙂
————————————————————————————————————————————–
বাংলা লেখার জন্য অভ্র ব্যবহার করুন, ডাউনলোড লিঙ্কঃ http://www.omicronlab.com/avro-keyboard-download.html
@সামী: এত ভাল একটি কমেন্ট করার জন্য আপনাকে অসংখ্য ধন্যবাদ। 🙂
আপনাদের কাজে লাগলেই আমার পরিশ্রম সার্থক। 😀
@ডলার রহমান: ভাই, ইহা আমি কি শুনিলাম? 😮
কিংবদন্তি হওয়া এতো সহজ??!! 😛
সুন্দর কমেন্ট করার জন্য অসংখ্য ধন্যবাদ। 🙂
আপনার ধৈর্যের তারিফ না করে পারছিনা!!!!!!!!!!!
জটিল হইছে চলাইয়া যান প্রিয়তে রাখলাম।
@সাইফুল আমিন রাসেল: আপনার কমেন্টের তারিফ না করে পারছি না। 🙂
কমেন্ট করার জন্য অসংখ্য ধন্যবাদ। 😀
আমি ইনটিগ্রেশনকে খুব ভয় পাই। টিঊনটা আমি পিসিতে সেভ করে রাখছি। নিওফাইটের রাজ্যে ভাইকে অনেক অনেক ধন্যবাদ।
@Akramul Haq: তাহলে আশা করা যায় ইন্টিগ্রেশন এখন একটু কম ভয় পাবেন! 😛
আকরাম ভাই, কমেন্ট করার জন্য আপনাকেও ধন্যবাদ। 🙂
@mahbubur rahman: কমেন্ট করার জন্য অসংখ্য ধন্যবাদ।
এখানে দেখুন ফিজিক্স নিয়ে দুইটি টিউন আছেঃ https://www.techtunes.io/tutorial/tune-id/98997/
আরেকটিঃ https://www.techtunes.io/electronics/tune-id/90932/
ভাল থাকবেন।
এত কমেন্ট পড়ে পড়ে আমি হাপিয়ে গিয়েছি। নিজে বলার মত সাহস পাচ্ছিনা। যাই হোক টিউন টা আমার ছোট বোন এর বেশ কাজে আসবে।
it rocks!!!!
@mhcom: কমেন্ট করার জন্য অসংখ্য ধন্যবাদ। কাজে লাগলেই টিউন সার্থক। Your comment rulez,,, 😀
খুবই ভাল টিঊন হয়েছে। এমন জ্ঞানগর্ভ আলোচনায় ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস সম্পর্কে স্পস্ট ধারনা হয়েছে ।আপনার কাছ থেকে এমন আরও ম্যথ বিষয়ক অনেক টিঊন আশা করছি. এতে আমরা অনেক শিক্ষর্থী উপকৃত হব। আপনাকে অনেক ধন্যবাদ।
@M.A. Foeag: আসলে, ক্যালকুলাসের অঙ্ক করতে গিয়ে দেখলাম বইয়ে লেখা নেই যে কেন ক্যালকুলাস শিখব। তাই আমার মনে হয়েছিল যে আমরা যারা ক্যালকুলাস করতে অগ্রসর হব তাঁদের একটু হলেও এ বিষয়ে ধারণা থাকা উচিৎ। সেকারণেই অল্প কিছু ধারণা দিয়ে টিউন শুরু করেছিলাম।
সময় পেলেই টিউন করব। সুন্দর একটি কমেন্ট উপহার দেওয়ার জন্য আপনাকেও অনেক অনেক ধন্যবাদ। 🙂
আপনি এত বড় একটা টিউন এত ধৈর্যের সাথে কিভাবে করেছেন? কল্পনাই করতে পারছি না !
যদিও আমি টিউনটা গোটাটাই পড়িনি কারণ আমি কমার্সে পড়ি 😛 , তবে স্কিনশর্টগুলা দেখে অন্ত্যান্ত অবাক হইছি।
অসাধারণ সুন্দর করে ইমেজগুলা বানিয়েছেন। আপনার টিউন আসলে অপ্রসংশনীয়।
“এই করে করেইতো জাতিটা ধ্বংস হয়ে গেল, কি কইসি বুঝতে পারো?, কি যে বুঝি না ছার সেইটাইতো বুঝি না, যাওগা মিয়া বিস্কুট খাওগা” 😀 😀
@সাইফুল ইসলাম: আমার গরীব টিউনার পাতায় আপনার মত নামীদামি ব্যক্তিকে 8) আসার জন্য এবং কমেন্ট করার জন্য অসংখ্য ধন্যবাদ জানাই । 🙂
ট্যাগের কথাগুলো আমাদের শ্রদ্ধেয় ম্যাথের টিচার জহরলাল সরকার “স্যার” ম্যাথ করানোর সময় বলতেন , তাই.. … … (বিস্কুটেরটা ক্যামিস্ট্রির টিচার বলতেন)
আপনার কমেন্টও অমূল্য। 😀
ভাল থাকবেন। 🙂
অনেক অনেক ধন্যবাদ ভাই। আমি B.sc Engineering ভতি হচ্ছি আমার কাজে লাগবে।ভাই আমার জন্য দোষা করেবন।
@ARIF MAHABUB: কমেন্ট করার জন্য আপনাকেও অনেক অনেক ধন্যবাদ ভাই। অবশ্যই দোয়া করব। ভাল থাকবেন। 🙂
অসাধারণ কোয়ালিটি টিউন… অনেক অনেক ধন্যবাদ… আশা করি নিয়মিত হবেন… শুভকামনা রইলো
http://messageonanecklace.com/articles/anniversary_gift.html
@ammsbd2: ভাই, দুঃখিত; আপাতত নিয়মিত হতে পারছি না। 🙁
আপনার কমেন্টের জন্য অসংখ্য ধন্যবাদ। 🙂
ভাইয়া, আমি টেকটিউনে একদমই নতুন। এখন পর্যন্ত কোনো টিউন করার সুযোগ হয়নি। তবে আপনার টিউন দেখে খুবই অনুপ্রাণিত হলাম। আপনার টিউনটা অসম্ভব সুন্দর হয়েছে। আপনাকেই তো এতদিন খুজছিলাম…!
কিন্তু আপনার অগোচরেই কিছু ভুল এখানে রয়ে গেছে। সময়ের অভাবে টিউনটি যদিও আমি সম্পূর্ণরূপে পড়ার সময় পাইনি, [ কিন্তু পড়ার প্রবল ইচ্ছা আছে…!!! ] তবুও একবার চোখ বুলিয়েছি। তাতেই দুইটি ভুল আমার চোখে পড়েছে। ১২ ও ১৫ নম্বর সূত্র দুটি ভুলভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে।
আমার মনে হয় এটা আপনার বে-খেয়ালে হয়ে গেছে।
আশা করি এটা দেখবেন।
আপনাকে অভিনন্দন…!!!
@Ttanweer: ভাইয়া আপনি অত্যন্ত চমৎকার কাজ করেছেন ভুলটি ধরিয়ে দিয়ে। ১৫ নং সূত্র ঠিকই আছে তবে ১২ নং সূত্রে a আর x জায়গা বদল করে ফেলেছে। 🙁
আমার ভুলের জন্য দুঃখিত ভাই। আপনি পুরটা পড়ে ভুলগুলো ধরিয়ে দিয়েন তাহলে সব একেবারে আপডেট করে দেব।
আপনাকেও অভিনন্দন এবং অসংখ্য ধন্যবাদ। 🙂
vaia differentiation er o amon 1ta tune likhben plz……ai tune ta onek onek onek upokari………….. 😀
@TJ Fairy: ভাইয়া টিউনটি পড়ার জন্য আপনাকে অসংখ্য ধন্যবাদ। তবে এখন এধরণের কিছু নিয়ে লেখা আমার পক্ষে সত্যিই অসম্ভব। তাই আপাতত লিখতে পারছি না বলে দুঃখিত। 🙁
তবে সময় পেলে ডিফারেনশিয়েশন নিয়ে টিউন করব। অনেক ধন্যবাদ। 🙂
কি নামে সার্চ দিব । নিওফাইটের রাজ্যে ইংরেজিতে লিখে সার্চ দিয়েছিলাম কিন্তু পাইনি। আমি আপনার সাথে যোগাযোগের চেষ্টা করছি কারন আপনাকে একটা রিকুয়েষ্ট করব যে এইচ এস সি র গণিতের উপর আপনি সনয়মিত টউন দিন । সরকারী কলেজে যেসব গনিতের শিক্ষক আছেন , তোদের চেয়ে অঅপনার বুঝানোর কৌশল অনেক ভাল । আপনার টউনের ফলে আমার মত অনেক চাত্রের প্রচুর উপকার হবে । আর আপনার কাছে অঅমি রসায়ন শিখতে চাই । দয়া করে আমাকে নিরাশ করবেন না । 01714764749
@sumon70: এখন ভীষণ ব্যস্ত আছি। ব্যস্ত থাকবো আরও ৩-৪ মাস, এর মাঝে শিক্ষামূলক টিউন করতে পারব কিনা জানিনা। কারণ বুঝতেই পারছেন, শিক্ষামূলক টিউনের প্রতিটি ছবি, টপিক সহজবোধ্য না করলে সেটা শিক্ষামূলক থাকে না। আর সেটা করার জন্য প্রচুর সময় ও শ্রমের প্রয়োজন। যারা সাধারণত শিক্ষামূলক টিউন করে থাকেন তাঁরা আমার চেয়ে ভাল বলতে পারবেন।
আপনার কমেন্টের জন্য ধন্যবাদ। ফেসবুকে পাবেনএই লিঙ্কে। ফোন নম্বরটা দিতে পারছি না আপাতত।
যেকোন প্রয়োজনে মেসেজ দিবেন অথবা ফ্রেন্ড রিক্যুয়েস্ট পাঠাতে পারেন। সাধ্যমত সাহায্য করার চেষ্টা করব।
আবারও ধন্যবাদ। ভাল থাকবেন।
ভাই যদি ms word অথবা জেনুইন pdf থাকে দিলে উপকৃত থাকব। thanks & i like it for your মেধা
@nayeem01: জেনুইন পিডিএফ আমি সাধারণত দেই না, কারণ পিডিএফ না দেওয়াতে টিউনটি অনেক কপি পেস্ট করা হয়েছে এবং তাতে আমার নাম পর্যন্ত উল্লেখ করা হয় নি। বলতে দ্বিধা নেই, অনেক পরিশ্রম করে এক একটা টিউন করি, কিন্তু যদি গণহারে কপি-পেস্ট দেখি এবং কৃতজ্ঞতা স্বীকার/মূল টিউনের লিঙ্ক না দেখি তাহলে আসলেই খারাপ লাগে।
এখন আমি যদি মূল ডক অথবা পিডিএফ দেই তাহলে কী হতে পারে তাতো বুঝতেই পারছেন। যাই হোক, টিউনে পিডিএফের ডাউনলোড লিঙ্ক দেওয়াই আছে, দেখেন নি বোধহয়! এখান থেকে ডাউনলোড করে নিন
আর যদি নিজে পিডিএফ করে রাখতে চান তাহলে আমার এই টিউন দেখুন। পিডিএফ করা নিয়ে সমস্যার অবসান হবে বলে আশা রাখি
ধন্যবাদ। 🙂
![জানালা ভেঙ্গে বের হতে পারছেন না? জানালা দিয়ে অন্তত চেয়ে দেখুন, আকাশটা কতই না বিশাল!! [“ফ্রি-ওয়্যার সমাচার” সচিত্র ও মোটামুটি বিস্তারিত মেগাটিউন]](https://dnc.techtunes.io/tDrive/tuner/neophyte-rajan/102539/featured.gif "জানালা ভেঙ্গে বের হতে পারছেন না? জানালা দিয়ে অন্তত চেয়ে দেখুন, আকাশটা কতই না বিশাল!! [“ফ্রি-ওয়্যার সমাচার” সচিত্র ও মোটামুটি বিস্তারিত মেগাটিউন]")
![ফেসবুক চ্যাটিংয়ে ইমোটিকন কোড কপি-পেস্টিংয়ে সহজ সমাধান, চ্যাটিংয়ে আনুন নতুনত্ব ছোট্ট স্বদেশী সফটওয়্যার দিয়েই [ফেবু পাগলাদের অবশ্যপাঠ্য]](https://dnc.techtunes.io/tDrive/tuner/neophyte-rajan/123332/anigif.gif "ফেসবুক চ্যাটিংয়ে ইমোটিকন কোড কপি-পেস্টিংয়ে সহজ সমাধান, চ্যাটিংয়ে আনুন নতুনত্ব ছোট্ট স্বদেশী সফটওয়্যার দিয়েই [ফেবু পাগলাদের অবশ্যপাঠ্য]")
চমৎকার
😀