জটিল সংখ্যা- নামটাই জানি কেমন!!! শুনলেই কোষ্ঠকাঠিন্য রোগের কথা মনে পরে!!! 😛 !!! দুঃখিত, একটু বেশিই বলে ফেললাম! যাই হোক, জটিল সংখ্যা যতই জটিল হোক না কেন, এটি আসলেই খুব মজার!
বিগত পোস্টে আমরা জটিল সংখ্যার ω এবং ω² নিয়ে জেনেছিলাম। আজ আমরা এই ω এবং ω² এর দুটি সূত্র সম্পর্কে জানবো এবং সেই সূত্রগুলোর প্রমাণও দেখবো ! 🙂 ! কথা না বাড়িয়ে চলুন শুরু করিঃ
সূত্র ১: ω³=1
সূত্র ২: 1+ω+ω²=0
আমরা জানি,
-1+√(-3)
ω = ─────── ...................... (i)
2
-1-√(-3)
এবং, ω²= ─────── ...................... (ii)
2
(i) ও (ii) নং সমীকরণ গুন করে পাই,
-1+√(-3) -1-√(-3)
ω.ω² = ─────── x ───────
2 2
{(-1)+√(-3)}{(-1)-√(-3)}
বা, ω³ = ──────────────
2 x 2
(-1)² - {√(-3)}²
= ────────── [যেহেতু, (a+b)(a-b) = a² - b²]
4
1 - (-3)
= ──────
4
1 + 3
= ─────
4
4
= ──
4
= 1
সুতরাং, ω³=1
[প্রমাণিত]
1, ω এবং ω² হচ্ছে ³√1 এর তিনটি মূল। আমাদের প্রমাণ করতে হবে, ³√1 এর মূল তিনটির যোগফল শুন্য(০)
অর্থাৎ, 1+ω+ω²=0
আমরা জানি,
-1+√(-3)
ω = ───────
2
-1-√(-3)
এবং, ω²= ───────
2
সুতরাং, বামপক্ষ = 1+ω+ω²
-1+√(-3) -1-√(-3)
= 1 + ─────── + ─────── [ω এবং ω² এর মান বসিয়ে]
2 2
2 + {-1+√(-3)} + {-1-√(-3)}
= ──────────────────
2
2 - 1 + √(-3) - 1 - √(-3)
= ───────────────
2
2 - 2
= ────
2
0
= ──
2
= 0
অর্থাৎ, 1+ω+ω² = 0
[প্রমাণিত]
নোটঃ এই প্রমাণ দুটি অনেকেই হয়তোবা আগে থাকতেই জানেন। কিন্তু, আমি এই প্রমাণ দুটি "মজার গণিত"- এ লিখার কারন হলোঃ এমন অনেকেই আছে, যারা এই প্রমাণগুলো ভালোমতো বোঝে না/ স্যারেরাও বোঝায় না (আমি সব কলেজের স্যারদের কথা বলছি না)! তাই, এমন অনেক ছাত্রছাত্রীই আছে, যারা এই সহজ জিনিসগুলাও জানে না!ফলে, অংক করার সময় তাদের অনেক সমস্যায় পড়তে হয়! অনেকে তো না বুঝতে পেরে অংক "ঠাডা মুখস্থ" করা শুরু করে দেয়!!! অংক কি মুখস্থ করার জিনিস?!? :/ ? যাই হোক, আজকের এই প্রমাণ দুটির একটিও যদি অন্তত একজন শিক্ষার্থী ভালোমতো বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের লেখা সার্থক! 🙂 !
"মজার গণিত"- এর সকল পোস্ট আপনার ফেইসবুক প্রোফাইলে পেতে চাইলে, এই পেজটিতে লাইক দিনঃ https://www.facebook.com/mojargonit ... ... ... গণিত প্রেমীদের মাঝে গণিতকে পৌঁছে দিতেই পেজের লিংকটি আমি দিলাম। আশা করি, এতে কেও মাইন্ড করবেন না! 😛
2. ০!=১ (০ ফ্যাক্টোরিয়াল=১) এর প্রমাণ
4. অসীম থেকে অসীম বাদ দিলে কি থাকে?
6. জটিল সংখ্যায় Ω এবং Ω² বলতে কি বোঝায়???
আমি মুবিন। বিশ্বের সর্ববৃহৎ বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির সৌশল নেটওয়ার্ক - টেকটিউনস এ আমি 12 বছর 10 মাস যাবৎ যুক্ত আছি। টেকটিউনস আমি এ পর্যন্ত 11 টি টিউন ও 69 টি টিউমেন্ট করেছি। টেকটিউনসে আমার 0 ফলোয়ার আছে এবং আমি টেকটিউনসে 0 টিউনারকে ফলো করি।
i'm nothing but.......?!.
খুবই সুন্দর টিউন। নতুনদের এবং আরও অনেকের কাজে দিবে। ধন্যবাদ এতো সুন্দর একটি টিউন করার জন্য =D