টেকটিউনস এ এটাই আমার প্রথম টিউন।তাই ভুল ত্রুটি হলে ক্ষমা সুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন আশা করি।

যারা ক্যালকুলাস জানেন তারা বুঝেন যে গনিতের এই শাখা টি আসলে কতটা মজার এবং সমৃদ্ধ।তবে এক্ষেত্রে নবীনরা অনেক সময় ই বুঝতে পারে না যে ক্যালকুলাস দিয়ে আসলে হয় টা কি।তাই এর প্রতি তাদের তেমন আগ্রহ জন্মায় না।আমি এই এই টিউন এর মাধ্যমে ক্যালকুলাস কে তাদের কাছে বোধগম্য করার প্রয়াস চালাব।এখানে আমি শুধু অন্তরীকরণ(Differentiation) নিয়ে সামান্য আলচনা করব। যোগজীকরণ(integration) নিয়ে পরে একদিন হাজির হব ইনশাল্লাহ।

শুরু করার আগে পুরনো একটা জিনিশ মনে করিয়ে দিতে চাই।

উপরের সমকোণী ত্রিভুজ ২টির Θএর মান সমান হলে তাদের (লম্ব/ভুমি) অর্থাৎ tanΘ এর মান ও অবশ্যই সমান হবে।অর্থাৎ,tanΘ এর মান ত্রিভুজটা যত বড় বা ছোটই হোক না কেন অপরিবর্তিত থাকবে যদি Θ অপরিবর্তিত থাকে।(আসলে এটা সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের জন্যই সত্য)। এখান থেকেই আমরা ক্যালকুলাস এর মজাটা বের করে আনব।  😆

এখন একটা উদাহরন দেয়া যাক।ধরুন একটা গাড়ির অতিক্রান্ত দুরত্ব কে আমরা নিচের সমীকরন দারা প্রকাশ করতে পারি,

S=t³+3t²

অর্থাৎ,সময় গননার শুরুতে(t=0) গাড়িটির অতিক্রান্ত দুরত্ব শুন্য। 1 সেকেন্ড পরে(t=1) তা হয় 4 মিটার। এভাবে বিভিন্ন সময়ের জন্য অতিক্রান্ত দুরত্ব নিলে আমরা নিচের মত একটি গ্রাফ পাব।(এই গ্রাফ টি স্কেল ধরে আঁকা হয় নি)।

এখন আমরা গ্রাফের উপর যে কোন ২টি বিন্দু P ও Q নেই যারা অতি নিকটবর্তী।(এতই নিকটবর্তী যেন তাদের সংযোজক অংশটাকে সরলরেখা বলা যায়।মনে করুন এখানে জুম করে দেখান হয়েছে 😀 , তাই বিন্দু ২ টা কে দূরে দূরে মনে হচ্ছে,আসলে তারা খুব ই কাছাকাছি  )

এখন উপরের চিত্র টা তে ভাল ভাবে খেয়াল করুন, আমরা ধরেছি গাড়িটি Δt সময় পরে Pথেকে Q তে পৌছবে।(যেহেতু PওQ অতি নিকটবর্তী তাই এক্ষেত্রে অতি অল্প সময় লাগবে যাকে  Δt ধরা হয়েছে)।otikranto durotto ke Δs ধরা হয়েছে।তাহলে একক সময়ে অতিক্রান্ত দুরত্ব কত? অবশ্যই Δs/Δt যাকে আমরা বেগ বলি  ।এখন বলুন তো, বক্ররেখাটির সকল বিন্দু তে Δs/Δt এর মান কি সমান হবে??

অবশ্যই না।কারণ এখানে চিত্র থেকে বোঝাই যাচ্ছে একই পরিমাণ Δt এর জন্য একেক বিন্দুতে Δs এর মান আলাদা।এখানে শুরুর দিকে কম ছিল এবং  ধীরে ধীরে এর মান বৃদ্ধি পেয়েছে।(এঁকে দেখতে পারেন)।

তার মানে কিন্তু একেক বিন্দু তে গাড়ির বেগ আলাদা। Δt এর এইরকম খুদ্র মানের জন্য Δs/Δt কে ds/dt দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

এখন PQ কে আমরা যদি নিচের চিত্রের মত বর্ধিত করি দেখুন তো কি পাই

এখানে <QPR অবশ্যইΘ এর সমান হবে।তাহলে এখন টিউন এর শুরুর সাথে মিলিয়ে দেখুন তো tanΘ=ds/dt লিখা যায় না?  😆

ছোট ত্রিভুজে হিসাব করা ঝামেলা, তাই আমরা কৌশলে ছোট ত্রিভুয থেকে বড় ত্রিভুজে চলে গেলাম। 😆

এখানে tanΘ কে বলা হয় রেখার যে কোন বিন্দুর স্পরশকের ঢাল।(এখানে বর্ধিত রেখাটাই স্পর্শক)।

তার মানে দেখুন এই Θ এর মান জানলে আমরা গাড়ির যেকোনো মুহূর্তের বেগ জানতে পারি।তখন বলেছিলাম এখানে শুরুর দিকে ds/dt এর মান কম এবং এই মান ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পেয়েছে। এখন মিলিয়ে দেখুন। Θ এর মান শুরুর দিকে কম ছিল এবং তা সময়ের সাথে বৃদ্ধি পেয়েছে। ঠিক কিনা? তার মানে tanΘ অর্থাৎ বেগ সময়ের সাথে বৃদ্ধি পেয়েছে।  😀

এটা তো গেল শুধু সময় আর দুরত্ব'র কথা।আপনি যদি y-অক্ষ বরাবর রাখেন গাড়ির বেগ এবং x-অক্ষ বরাবর রাখেন সময় তাহলে পাবেন যে কোন মুহূর্তের জন্য একক সময়ে বেগের পরিবরতনের হার মানে ত্বরন.. .. .. এবং এইভাবে আপনি যা চান.. .. .. 😀 আর এটাতেই ব্যাপক মজা।

এখন ধরুন সমীকরন টা যদি এমন হত, s=8

তার মানে s এর মান t এর উপর নির্ভর করে না,অর্থাৎ সব সময় ই ৮।(মানে ধ্রুবক)

গ্রাফ টা হবে উপরের চিত্রের মত।এখানে দেখুন যেকোনো ২ টা বিন্দু ই নেন না কেন এক্ষেত্রে Δt এর জন্য Δs মান সব সময় ই শুন্য। অর্থাৎ,ds/dt=0

স্পর্শক আঁকলে  দেখা যাবে তা সর্বদা x-অক্ষের সাথে 0⁰  কোন উতপন্ন করে। ফলে tanΘ=tanO=0। আপনাকে যাতে গ্রাফ এঁকে এগুলো না বের করতে হয় তার জন্য কিছু সুত্র প্রতিপাদন করা আছে। যেমন, s=t³+3t²  এটাকে অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায় ds/dt=3t²+6t(সুত্র সম্পর্কে কিছু বললাম না,বিভিন্ন বইতেই এগুলর প্রতিপাদন আছে) .  এখান থেকে t এর যেকোনো মানের জন্য গাড়ির বেগ বের করা যাবে।     আজকে এটুকুই থাক।আবার ইনশাল্লাহ ফিরে আসব নতুন টিউন নিয়ে।            লেখাটি অনেক কষ্ট করে লেখা,আশা করি সবাই কমেন্ট করে উতসাহিত করবেন()